空交叉二次型的 Clifford 空间

给定线性空间 $U \subset \mathrm{Sym}^2V^\vee$ 中的二次型，其在射影空间 $\mathbb{P}(V)$ 中的交叉为空，我们考虑相应的 Clifford 空间——即在射影空间 $\mathbb{P}(U)$ 上依据 Clifford 代数偶部分构成的射影代数束。我们证明了 Clifford 空间的派生范畴由生成其完整异常集合，这一集合可延拓为 1 周期螺旋，且 Clifford 空间等价于相应 graded 代数的非交换射影谱。我们详细讨论了 Clifford 空间的两个特殊情形。第一个是最大 Clifford 空间，关联完整线性系统 $U = \mathrm{Sym}^2V^\vee$ 的二次型。它在射影空间 $\mathbb{P}(V)$ 的第二个 Veronese 嵌入中具有 homological 投影偶性。我们证明了相应的 graded 代数是所有 $\mathrm{GL}(V)$ 多项式表示的最大重数自由直和，并描述了其对偶的 $\mathrm{A}_\infty$-代数。第二个是最小 Clifford 空间，关联二次型线性系统且 $\dim(U) = \dim(V)$。我们证明了相应的 graded 代数是多项式代数的一个 Koszul 平直变形，其对偶代数是 exterior 代数的 Frobenius 平直变形。特别地，最小 Clifford 空间是非交换射影空间的一个实例。