具有临界吸收的一维扩散型哈密顿-雅可比方程的熄灭剖面分类

根据参数 $a>0$ 的值（指数 $p$ 取值范围为 $(1,2)$），对区间 $(0,\infty)$ 上带有初值条件 $f(0,a)=a$ 与 $f'(0,a)=0$ 的常微分方程 $(|f'|^{p-2} f')' + f - |f'|^{p-1} = 0$ 的解 $f(\cdot,a)$ 的行为进行了分类。存在一个阈值 $a_*$ 将 $f(\cdot,a)$ 的不同行为分开：若 $a>a_*$，则 $f(\cdot,a)$ 在 $(0,\infty)$ 中至少消失一次并取负值；而若 $a\in (0,a_*)$，则 $f(\cdot,a)$ 在 $(0,\infty)$ 中为正且当 $r\to\infty$ 时代数衰减至零。在阈值处，$f(\cdot,a_*)$ 在 $(0,\infty)$ 中亦为正，但当 $r\to\infty$ 时指数快速衰减至零。这些结果的证明依赖于向一阶常微分方程的变换以及关于 $a>0$ 的单调性性质。该分类是对具有临界梯度吸收和快速扩散的扩散型哈密顿-雅可比方程在熄灭时刻附近动力学行为描述的一步。