类数与自共轭7-核

我们研究 $sc_7(n)$，即大小为 $n$ 的自共轭 $7$-核分拆的个数。结果表明对于 $n\equiv 7\pmod 8$ 有 $sc_7(n)=0$。对于 $n\equiv 1, 3, 5\pmod 8$ 且 $n\not \equiv 5\pmod 7$，我们发现 $sc_7(n)$ 本质上是一个 Hurwitz 类数。利用 Gao 和 Qin 的近期工作，我们证明 $$sc_7(n) = 2^{-\varepsilon(n)-1}\cdot H(-D_n),$$ 其中 $-D_n:=-4^{\varepsilon(n)}(7n+14)$ 且 $\varepsilon(n):=\frac{1}{2}\cdot(1+(-1)^{\frac{n-1}{2}})$。这一事实蕴含若干令人关注的推论。例如，若 $-D_n$ 是一个基本判别式且 $p\not \in \{2, 7\}$ 是一个满足 $ord_p(-D_n)\leq 1$ 的素数，则对每个正整数 $k$ 我们有 $$sc_7\left((n+2)p^{2k}-2\right)=sc_7(n)\cdot \left(1+\frac{p^{k+1}-p}{p-1}-\frac{p^k-1}{p-1}.\left(\frac{-D_n}{p}\right)\right),$$ 其中 $\left(\frac{-D_n}{p}\right)$ 为 Legendre 符号。