双纽线上的编排三体运动
数学物理
2012-01-17 v1 math.MP
摘要
我们证明了周期为 T、位于双纽线上的编排三体 {x(t), x(t+T/3), x(t-T/3)}，其中 x(t) = (x-hat+y-hat cn(t))sn(t)/(1+cn^2(t)) 由雅可比椭圆函数 sn 和 cn 参数化，模数 k^2 = (2+sqrt{3})/4，该运动保持质心和角动量守恒，其中 x-hat 和 y-hat 是定义运动平面的正交单位向量。它们还保持转动惯量、动能、曲率平方之和、距离之积以及体间距离平方之和守恒。我们发现它们满足在势能 sum_{i<j}(1/2 ln r_{ij} -sqrt{3}/24 r_{ij}^2) 或 sum_{i<j}1/2 ln r_{ij} -sum_{i}sqrt{3}/8 r_{i}^2 下的运动方程，其中 r_{ij} 为体 i 与 j 之间的距离，r_{i} 为到原点的距离。势能的第一项是二维牛顿引力，而第二项分别为相互排斥力或来自原点的排斥力。进而给出了编排三体位置的几何构造方法。
引用
@article{arxiv.math-ph/0210044,
title = {Choreographic Three Bodies on the Lemniscate},
author = {Toshiaki Fujiwara and Hiroshi Fukuda and Hiroshi Ozaki},
journal= {arXiv preprint arXiv:math-ph/0210044},
year = {2012}
}