Gromov填充面积猜想的离散视角

若紧凑度量曲面 $M$ 等距填充闭合度量曲线 $C$，则 $\partial M=C$ 且 $d_M(x,y)=d_C(x,y)$ 对每个 $x,y\in C=\partial M$ 成立，即 $M$ 不在边界点之间引入任何“短路”。Gromov于1983年提出的填充面积猜想断言，在所有紧凑、可定向黎曼曲面中，等距填充黎曼圆的曲面积最小者为半球。Gromov已证明若 $M$ 与圆盘同胚时该猜想成立。虽然Gromov的猜想随后在其他情形下得到验证，但完整猜想仍未解决。本文考虑Gromov问题的离散类比，这对于研究在任意表面上进行图嵌入的研究者而言是自然的。使用诸如Menger定理等标准图论工具，我们获得该离散变体的合理渐近界限。随后展示了这些离散界限如何转化为连续情形，表明任何等距填充长度为 $2\pi$ 的黎曼圆的曲面积至少为 $1.36\pi$（半球的曲面积为 $2\pi$）。这似乎是Gromov问题中首个适用于任意等距填充的定量下界。