紧致区域上涡旋的 Chern-Simons 形变

通过延拓方法，我们证明了在一般紧致黎曼面 $\Sigma$ 上的埃尔米特线丛 $\L$ 中 Maxwell-Chern-Simons-Higgs (MCSH) 涡旋的存在性。证明了解在空间上以及作为 Chern-Simons 形变参数 $\kappa$ 的函数均是光滑的，且对所有 $|\kappa|<\kappa_*$ 存在，其中 $\kappa_*$ 原则上取决于 $\Sigma$ 的几何、$\L$ 的度 $n$（可解释为涡旋数）以及涡旋位置。我们找到了 $\kappa_*$ 的一个简单上界，该上界仅依赖于 $n$ 和 $\Sigma$ 的体积。此外，证明了 $\kappa_*$ 存在一个正的下界，该下界依赖于 $\Sigma$ 和 $n$，但与涡旋位置无关。我们对圆形二维球面上的旋转等变涡旋进行了详细的数值研究。我们发现 $\kappa_*$ 通常确实依赖于涡旋位置，并且对于固定的 $n$ 和半径，涡旋在南北极之间分布越均匀，$\kappa_*$ 往往越大。我们提出了 MCSH 模型在复维数为 $k\geq 1$ 的紧致 Kähler 区域 $\Sigma$ 上的推广。Chern-Simons 项被替换为 $A\wedge F\wedge \omega^{k-1}$ 在时空上的积分，其中 $\omega$ 是 $\Sigma$ 上的 Kähler 形式。我们找到了能量的拓扑下界，该下界由 $\Sigma$ 上通常涡旋方程的形变版本的解所达到。我们证明了这些广义方程的涡旋解在 $|\kappa|<\kappa_*$ 时的存在性、唯一性和光滑性，并获得了仅依赖于 $\Sigma$ 的 Kähler 类和 $\L$ 的第一陈类的 $\kappa_*$ 上界。