$\mathbb Z_n^d$（$d \ge 3$）上随机游走未覆盖集的陈–斯坦方法

设 $X$ 为 $\mathbb{Z}_n^d$ 上 $d\geq 3$ 的简单随机游走，令 $t_{\rm{cov}}$ 为期望覆盖时间。我们考虑 $\mathbb{Z}_n^d$ 中在时刻 $\alpha t_{\rm{cov}}$（$\alpha\in (0,1)$）前未被游走访问的点集 $\mathcal{U}_\alpha$。[MS17]中证明存在 $\alpha_1(d)\in (0,1)$，使得对所有 $\alpha>\alpha_1(d)$，当 $n \to \infty$ 时，集合 $\mathcal{U}_\alpha$ 的分布与以成功概率 $n^{-\alpha d}$ 索引于 $\mathbb{Z}_n^d$ 的独立同分布伯努利随机变量序列之间的总变差距离趋于 $0$。在[MS17]中常数 $\alpha_1(d)$ 随 $d\to\infty$ 趋于 $1$。在本短文中，利用陈–斯坦方法与Lezaud的马尔可夫链集中结果，我们极大简化了[MS17]的证明，并找到一个随 $d\to\infty$ 趋于 $3/4$ 的常数 $\alpha_1(d)$。