偏置简单随机漫步的首次到达时间获胜率

我们研究偏置简单随机漫步 $S_n$ 在整数格 $\mathbb{Z}$ 上的首次到达时间 $N_d=\inf\{n\ge 0:S_n=d\}$ 的获胜率 $R_{N_d}/N_d$，其中 $p=P[X_1=+1]\in[1/2,1)$。使用生成函数技术和积分表示，我们推导出 $R_{N_d}/N_d$ 的期望和方差的显式公式，以及关于阈值 $d$ 和偏置 $p$ 的单调性质量。我们还提供闭式表达式并利用它们设计基于首次到达抽样的无偏硬币翻转估计器 $\pi$；所得方案说明了偏置硬币如何在 approximation 精度和计算成本方面产生显著改进。