基于多线性Kakeya不等式的Cheeger微分定理

设 $(X,d,\mu)$ 是有限Hausdorff维数的度量测度空间，且对每个 Lipschitz 映射 $f \colon X \to \mathbb R$，$f$ 的 $\operatorname{Lip}(f,\cdot)$ 被 $f$ 的每一个上梯度所控制。我们证明 $X$ 是一个 Lipschitz 可微性空间，且 $X$ 的可微结构维数至多为 $\dim_{\mathrm{H}} X$。由于当 $X$ 为加倍且满足 Poincaré 不等式时我们的假设成立，因此我们获得了 Cheeger 对 Rademacher 定理推广的一个新证明。我们的方法利用 Guth 关于 Lipschitz 图邻域的多线性 Kakeya 不等式，证明任何具有 $n$ 个独立 Alberti 表示的平凡测度其 Hausdorff 维数至少为 $n$。