任意周期下具有最小正熵的树状环的特征刻画

对任意整数 $n\ge3$,考虑所有具有正拓扑熵的 $n$ 周期树模式之集合 $\text{Pos}_n$,以及所有 $n$ 周期不可约树模式之集合 $\text{Irr}_n\subset\text{Pos}_n$。本文旨在确定族 $\text{Pos}_n$、$\text{Irr}_n$ 与 $\text{Pos}_n\setminus\text{Irr}_n$ 中熵最小的元素。令 $\lambda_n$ 为多项式 $x^n-2x-1$ 在 $(1,+\infty)$ 中的唯一实根。我们显式构造了一个不可约的 $n$ 周期树模式 $\mathcal{Q}_n$,其熵为 $\log(\lambda_n)$。我们证明该熵在 $\text{Pos}_n$ 中最小。由于模式 $\mathcal{Q}_n$ 不可约,它也在族 $\text{Irr}_n$ 中最小化熵。我们还证明集合 $\text{Pos}_n\setminus\text{Irr}_n$ 中的最小正熵(仅当合数 $n\ge6$ 时非空)为 $\log(\lambda_{n/p})/p$,其中 $p$ 为 $n$ 的最小素因子。