多维聚合方程中径向对称有限时间爆破的刻画

本文研究质量 $\mu$ 在 $\real^d, d \geq 2$ 中通过流场 $v= -\nabla K*\mu$ 的输运。我们关注核 $K=|x|^\alpha/ \alpha$（其中 $2-d\leq \alpha<2$），已知对其而言光滑密度会在有限时间内发展出奇点。对于该范围，本文研究质量 $\mu$ 在 $\real^d, d \geq 2$ 中通过流场 $v= -\nabla K*\mu$ 的输运。我们关注核 $K=|x|^\alpha/ \alpha$（其中 $2-d\leq \alpha<2$），已知对其而言光滑密度会在有限时间内发展出奇点。对于该范围，我们证明了作为半径函数单调递减的径向对称测度解的全时间存在性，从而允许解在爆破时间之后继续延拓。对数据的单调约束与近期这些奇点的数值研究中观察到的典型爆破剖面一致。我们证明单调性在所有时间均得到保持，即使在爆破之后也是如此，这与已知径向对称解会失去单调性的 $\alpha >2$ 情形形成对比。在牛顿势（$\alpha=2-d$）情形下，在径向对称假设下，方程可变换为半直线上的无粘 Burgers 方程。这使我们能够利用守恒律的经典理论证明单调性的保持。在 $2 -d < \alpha < 2$ 且临界指数 $p$ 的情形下，我们展示了 $L^p$ 中的初始数据，其解会立即产生 Dirac 质量奇点。这扩展了近期关于临界指数下解局部不适定性的工作。