由 Dirichlet 热流保持的 $F$-凹性的刻画

$F$-凹性是幂凹性的推广，实际上也是凹性概念现有最大的推广。我们刻画了在 ${\mathbb R}^n$ 中凸域上由 Dirichlet 热流保持的 $F$-凹性，并完成了对 Dirichlet 热流保持凹性性质的研究，该研究由 Brascamp 和 Lieb 于 1976 年开创并在近期一些论文中得以发展。更确切地说：(1) 我们发现了热凹性（hot-concavity），它是由 Dirichlet 热流保持的最强的 $F$-凹性；(2) 我们证明对数凹性是由 Dirichlet 热流保持的最弱的 $F$-凹性；拟凹性也仅在 $n=1$ 时被保持；(3) 我们证明若 $F$-凹性不与对数凹性重合，且不强于对数凹性且 $n\ge 2$，则存在某个 $F$-凹初始数据，使得相应的 Dirichlet 热流解甚至不是拟凹的，从而丧失任何凹性的痕迹。此外，我们给出了 $F$-凹性被 Dirichlet 热流保持的充要条件。我们还研究了变系数线性抛物方程以及半线性热方程、多孔介质方程和抛物 $p$-Laplace 方程等非线性抛物方程的 Cauchy--Dirichlet 问题解对凹性性质的保持。