仿射簇的示性类与仿射态射的 Plücker 公式

簇 $V$ 上的枚举问题通常通过归约为 $V$ 的紧化上同调中的相交理论来解决。然而，如果该问题在 $V$ 上的“良好”群作用下是不变的（即 $V$ 是球形的），那么许多作者提出了相交理论的更好归宿：$V$ 的所有等变紧化的上同调环的直接极限。我们将此极限称为 $V$ 的仿射上同调，并构造了复环面子簇的仿射示性类，其取值于环面的仿射上同调中。这使我们能够迈出计算仿射 Thom 多项式的第一步。经典 Thom 多项式计算光滑簇的通用真映射中具有预定奇点收集的纤维数量，而我们的仿射版本针对仿射代数簇的通用多项式映射解决了相同的问题。这一概念的动机还来自于发展热带对应定理的相交理论方法：它们可以归约为仿射 Thom 多项式的计算，因为簇在仿射上同调中的基本类由该簇的热带扇编码。我们获得的第一个具体答案是历史上前三个 Thom 多项式的仿射版本——即射影对偶曲线的次数以及尖点和节点数量的 Plücker 公式。这特别分类了射影对偶为超曲面的环面簇，计算了环面簇的双切超平面簇的热带扇，并描述了给定次数的非 Morse 多项式超曲面的 Newton 多面体。我们还对仿射 Thom 多项式的一般形式提出了一个猜想——其关键成分是推广了次级多面体的 $n$ 元扇。