通过记录类观察刻画分布

我们通过一种称为 $\delta$-记录 的自然推广，刻画概率分布的鞅性质。对于独立同分布序列 $(X_n)$，设其运行最大值为 $M_n$，记 $N_n$ 为 $\delta$-记录的个数（即满足 $X_k > M_{k-1} + \delta$ 的 $X_k$）。我们确定使得 $N_n - cM_n$ 为鞅的分布，并表明这一性质在广泛的分布类中唯一确定底层分布。我们表明该问题可以用延迟积分的 Cauchy 功能方程来重新表述。该方程的一个独特特征是它需要在取决于未知分布本身的集合上成立，这既使分析复杂化，也允许出现多样化的解。当 $\delta < 0$ 时，可获得完整的刻画。对于 $\delta > 0$，我们识别了所有具有有限支撑的解。在 $\delta > 0$ 且支撑集无界的情况下，我们分别考虑连续分布和离散分布。在连续情况下，刻画简化为一个延迟微分方程，该方程接受经典指数型解以及更广泛的解族，包括指数和伽马分布的混合分布。相应的离散分析导致差分方程，其解包括几何分布和负二项分布的混合分布。特别是，这提供了一种基于弱记录的几何分布的新刻画。