Maaß 形式 $L$-函数的加性扭曲的中心值

本文中我们研究 Maaß 形式 $L$-级数的加性扭曲的中心值。在模群的情形下，我们证明加性扭曲（对分母取平均时）渐近正态分布。这补充了 Petridis--Risager 近期解决 Mazur--Rubin 关于模符号猜想的平均版本的工作。本文的方法结合了 Bettin 与第一位作者给出的动力学输入，以及加性扭曲依 Zagier 意义定义量子模形式这一新事实。后一性质对一般的具有尖点的离散余有限群成立。我们的结果亦有若干算术应用；在 Hecke 同余群的情形下，量子模性蕴含了扭曲 ${\rm GL}_2$-自守 $L$-函数的扭曲矩的某些互反关系，推广了 Conrey 与第二位作者的结果。在模群的尖点 Maaß 形式的情形下，我们还获得了该 Maaß 形式的 $L$-函数的某些宽矩的计算。