环面拓扑的范畴论方面

我们通过综述最近的例子和应用，论证应将范畴论纳入环面拓扑的工具包中。我们的论证基于环面空间 $X_K$，如矩角复形 $Z_K$、拟环面流形 $M$ 和 Davis-Januszkiewicz 空间 $DJ(K)$。我们首先将 $X_K$ 展示为定义在小型范畴 $\text{cat}(K)$ 上的空间图的同伦上极限，其中 $\text{cat}(K)$ 的对象是有限单纯复形 $K$ 的面，态射为其包含关系。随后，我们在各种代数 Quillen 模型范畴中研究相应的 $\text{cat}(K)$-图，并将其同伦上极限解释为 $X_K$ 的代数模型。此类模型编码了许多标准代数不变量，其存在性由 Quillen 结构保证。我们提供了若干说明性计算（通常在有理数域上进行），包括证明：拟环面流形（及其各种推广）是有理形式的；对于旗复形 $K$，环路空间 $\Omega DJ(K)$ 的有理 Pontrjagin 环同构于 Stanley-Reisner 代数 $\mathbb{Q}[K]$ 的二次对偶；以及 $DJ(K)$ 是共形式的当且仅当 $K$ 是旗复形。最后，我们描述了任意复形 $K$ 的环路空间 $\Omega DJ(K)$ 的代数模型，该模型模仿了我们此前将其描述为拓扑幺半群的同伦上极限的方法。