算子理想的 Cartan 子代数

记 $U_{\mathcal I}({\mathcal H})$ 为 ${\bf 1}+{\mathcal I}$ 中所有酉算子构成的群，其中 ${\mathcal H}$ 是可分无限维复 Hilbert 空间，${\mathcal I}$ 是 ${\mathcal B}({\mathcal H})$ 的任意双边理想。本文将 ${\mathcal I}$ 的 Cartan 子代数 ${\mathcal C}$ 定义为 ${\mathcal I}$ 的极大交换自伴子代数，并将其共轭类定义为 Cartan 子代数集合 $\{V{\mathcal C} V^*\mid V\in U_{\mathcal I}({\mathcal H})\}$。对于非零真理想 ${\mathcal I}$，我们构造了一族具有不同共轭类的不可数多个 ${\mathcal I}$ 的 Cartan 子代数。这与 P. de La Harpe 的经典观察形成对比，他指出当 ${\mathcal I}$ 为任何 Schatten 理想时，在 ${\mathcal B}$ 上的全酉算子群作用下恰好只有一个共轭类。当 ${\mathcal I}$ 是对称范数理想且是某个 Banach 空间的对偶时，我们展示了 ${\mathcal I}$ 的 Cartan 子代数的共轭类如何成为建模于适当 Banach 空间上的光滑流形。这些流形配备了由群 $U_{\mathcal I}({\mathcal H})$ 在轨道上的作用给出的光滑变换群，并且彼此等微分同胚。随后我们发现存在 $U_{\mathcal I}({\mathcal H})$ 的全旗流形的唯一微分同胚类，并给出了其构造。