考克斯特群中的典范约化词与带符号下降长度枚举

Reifegerste以及独立地，Petersen和Tenner研究了对称群$\mathfrak{S}_n$上的一个统计量$\mathrm{drops}()$。$\mathfrak{S}_n$上另外两个被研究的统计量是$\mathrm{depth}$和$\mathrm{exc}$。利用$\mathfrak{S}_n$中元素的{\it 典范约化词}中的下降，我们给出一个对合$f_A: \mathfrak{S}_n \mapsto \mathfrak{S}_n$，它导出了$\mathfrak{S}_n$中$\mathrm{drops},\mathrm{depth}, \mathrm{exc}$的带符号三元枚举子的简洁公式。这给出了$\mathfrak{S}_n$中带符号一元下降枚举子的简单公式。对于B型考克斯特群$\mathfrak{B}_n$，使用类似技巧，我们证明了类似的结果。对于D型考克斯特群，我们同样得到类似结果，但证明是归纳的。在著名的Foata-Zeilberger双射$\phi_{FZ}$（它将置换映到受限Laguerre历史）下，我们证明置换$\pi$和$f_A(\pi)$映射到相同的Motzkin路，但具有不同的历史分量。利用Foata-Zeilberger双射，我们还得到了枚举统计量对$\mathrm{drops}$和$\mathrm{MAD}$的生成函数的连分数。Graham和Diaconis确定了当从$\mathfrak{S}_n$中随机采样$\pi$时，Spearman混乱度度量$D(\pi)$的均值和方差。作为我们结果的一个应用，我们得到了当从$\mathcal{A}_n$中随机采样$\pi$时统计量$\mathrm{drops}(\pi)$的均值和方差。