典则基与 Macdonald 多项式

在通过对称函数代数实现的 $U_q(\hat{sl}(2))$ 的基本表示中，我们将典则基与取 $q=t^2$ 的 Macdonald 多项式基进行比较。我们证明 Macdonald 多项式关于抽象定义在量子群表示上的 bar 对合是不变的。我们还证明 Macdonald 标量积与抽象的 Kashiwara 形式一致。这特别意味着，Macdonald 多项式构成了典则基与对偶典则基之间的中间基，且转移矩阵的系数必然是 bar 不变的。我们还讨论了这些系数的正性与整性。对于水平 $k$，我们期望典则基与取 $q^2=t^{k}$ 的 Macdonald 多项式之间有类似关系。