单列图情形下的 $C_n$ 型 Macdonald 多项式与形变 Catalan 数

我们给出了从具有单列图的 Koornwinder 多项式 $C_n$ 型退化 $P_{(1^r)}(x\,|\,a,-a,c,-c\,|\,q,t)$ 到 $C_n$ 型单项对称多项式 $m_{(1^{r})}(x)$ 的转移矩阵 $\mathcal{C}$ 的显式公式。矩阵 $\mathcal{C}$ 的矩阵元满足一组三项递推关系，可视为 Catalan 三角形或投票数的递推关系的 $(a,c,t)$-形变。我们研究了一些与 $(C_n,C_n)$ 型 Macdonald 多项式 $P^{(C_n,C_n)}_{(1^r)}(x\,|\,b;q,t)= P_{(1^r)}\big(x\,|\,b^{1/2},-b^{1/2},q^{1/2}b^{1/2},-q^{1/2}b^{1/2}\,|\,q,t\big)$ 相关的转移矩阵。还证明了 $q$-投票数作为 Kostka 多项式出现，即在从 Schur 多项式 $P^{(C_n,C_n)}_{(1^r)}(x\,|\,q;q,q)$ 到 Hall-Littlewood 多项式 $P^{(C_n,C_n)}_{(1^r)}(x\,|\,t;0,t)$ 的转移矩阵中。