负裸耦合是否有意义？大 $N$ 下的 $\vec{\phi}^4$ 理论

在 3+1 维中标量 $\lambda\phi^4$ 理论，对于正耦合常数 $\lambda>0$，已知不存在相互作用的连续极限，这被称为量子平庸性。然而，最近有论证表明，在 3+1 维中具有 $N$ 分量标量 $\vec{\phi}$ 以及 $(\vec{\phi}\cdot\vec{\phi})^{\,2}=\vec{\phi}^{\,4}$ 相互作用项的该理论，在大 $N$ 下确实存在一个相互作用的连续极限。有人提出该连续极限具有负的（裸）耦合常数并展现渐近自由，类似于 $\mathcal{P}\mathcal{T}$ 对称的 $-g\phi^4$ 场论。在本文中，我研究 3+1 维中大 $N$ 下具有负耦合常数 $-g<0$ 的 $\vec{\phi}^{\,4}$ 理论，且标量场取值于 $\mathcal{P}\mathcal{T}$ 对称的复域。该理论非平庸，具有渐近自由，并在红外处有一个朗道极；我证明当两理论的朗道极（在 $\lambda>0$ 情形为紫外处的极）相互对应时，其热配分函数与正耦合 $\lambda>0$ 理论一致。重整化的精神在于观测量不依赖于重整化标度。此处我们看到，即便在朗道极标度之上取负耦合，热力学观测量也不受影响。因此大 $N$ 下的 $\vec{\phi}^{\,4}$ 理论似乎具有负裸耦合常数；耦合仅在红外处变为正，在其他 $\mathcal{P}\mathcal{T}$ 对称及大 $N$ 量子场论的背景下我认为这是完全可接受的。