秩二对称空间复化上的 Calabi-Yau 结构

对于紧型(黎曼)对称空间 $G/K$,其对偶复化 $G^{\mathbb C}/K^{\mathbb C}$(为一反 Kaehler 对称空间)上 $G$ 的自然作用是称为“Hermann 型作用”的等距作用之一。令 $\psi$ 为 $G^{\mathbb C}/K^{\mathbb C}$ 某开集上由极大交换子空间 $\mathfrak a^d\subset\mathfrak p^d$ 开集上的 $W$-不变严格凸 $C^{\infty}$-函数 $\rho$ 所导出的 $G$-不变严格多重次调和 $C^{\infty}$-函数,其中 $\mathfrak p^d$ 为李代数 $\mathfrak g^d$(对应 $G^d$)的子空间,使得 $\mathfrak g^d=\mathfrak k\oplus\mathfrak p^d$ 给出与 $G/K$ 的对偶对称空间 $G^d/K$ 相关的 Cartan 分解,而 $W$ 为对应于 $\mathfrak a^d$ 的 Weyl 群。本文首先给出 $\psi$ 的复 Hessian 与 $\rho$ 的 Hessian 之间已知关系的新证明。该新证明从 Hermann 型作用 $G\curvearrowright G^{\mathbb C}/K^{\mathbb C}$ 的轨道几何视角出发,具体通过使用各向同性作用 $K\curvearrowright G^d/K$ 与 Hermann 型作用 $G\curvearrowright G^{\mathbb C}/K^{\mathbb C}$ 之轨道的形状算子的显式描述来完成。接着,基于此关系,我们证明在 $G/K$ 为秩二的情形下,整个复化 $G^{\mathbb C}/K^{\mathbb C}$ 上存在 $C^{\infty}$-Calabi-Yau 结构。未来,上述新证明将有助于更一般地研究配备某类复超极化作用的反 Kaehler 流形上不变 Calabi-Yau 结构的存在性,我们注意到 Hermann 型作用即为复超极化的。