C*-代数化的 Smale 中值猜想与 Dubinin-Sugawa 对偶中值猜想

基于 Smale 中值猜想 \textit{[Bull. Amer. Math. Soc., 1981]} 与 Dubinin-Sugawa 对偶中值猜想 \textit{[Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 2009]}，我们提出如下猜想。\textbf{C*-代数化的 Smale 中值猜想：设 $\mathcal{A}$ 为交换 C*-代数。设 $P(z)= (z-a_1)\cdots (z-a_n)$ 为 $\mathcal{A}$ 上次数为 $n\geq 2$ 的多项式，$a_1, \dots, a_n \in \mathcal{A}$。若 $z\in\mathcal{A}$ 不是 $P$ 的临界点，则存在 $P$ 的临界点 $w\in \mathcal{A}$ 使得 \begin{align*} \frac{\|P(z)-P(w)\|}{\|z-w\|}\leq 1 \|P'(z)\| \end{align*} 或 \begin{align*} \frac{\|P(z)-P(w)\|}{\|z-w\|}\leq \frac{n-1}{n} \|P'(z)\|=\frac{\operatorname{deg} (P)-1}{\operatorname{deg} (P)} \|P'(z)\|. \end{align*}} \textbf{C*-代数化的 Dubinin-Sugawa 对偶中值猜想：设 $\mathcal{A}$ 为交换 C*-代数。设 $P(z)= (z-a_1)\cdots (z-a_n)$ 为 $\mathcal{A}$ 上次数为 $n\geq 2$ 的多项式，$a_1, \dots, a_n \in \mathcal{A}$。若 $z\in\mathcal{A}$ 不是 $P$ 的临界点，则存在 $P$ 的临界点 $w\in \mathcal{A}$ 使得 \begin{align*} \frac{\|P'(z)\|}{\operatorname{deg} (P)} =\frac{\|P'(z)\|}{n} \leq \frac{\|P(z)-P(w)\|}{\|z-w\|}. \end{align*}} 我们证明（即便是强形式下的）C*-代数化 Smale 中值猜想与 C*-代数化 Dubinin-Sugawa 对偶中值猜想对交换 C*-代数上次数为 2 的 C*-代数多项式成立。