希尔伯特空间上 $m$-等距的 $C_0$-半群

设 $\{T(t)\}_{t\ge 0}$ 为可分希尔伯特空间 $H$ 上的 $C_0$-半群。我们刻画了 $T(t)$ 对每个 $t$ 均为 $m$-等距的充要条件：对每个 $x\in H$，映射 $t\in \Bbb R^+ \rightarrow \|T(t)x\|^2$ 是次数小于 $m$ 的多项式。利用这一事实，我们研究了加权 $L^p$-空间上的 $m$-等距右平移半群。我们根据无穷小生成元算子的条件或 $\{ T(t)\}_{t\geq 0}$ 的伴生算子给出了上述性质的刻画。此外，我们证明：希尔伯特空间上满足核条件（即 $T^*T(KerT^*)\subset KerT^*$）的非酉 $2$-等距 $T$，可被嵌入 $C_0$-半群当且仅当 $dim (KerT^*)=\infty$。