$B_4$ 的 Burau 表示与有理平面量子化

braid group $B_4$ 自然地作用于有理射影平面 $\mathbb{P}^2(\mathbb{Q})$ 上，该作用对应于 $B_4$ 的经典积分化简 Burau 表示。本文的第一个结果是对该作用的轨道进行分类。随后，Burau 表示定义了 $B_4$ 在 $\mathbb{P}^2(\mathbb{Z}(q))$ 上的作用，其中 $q$ 为形式参数，$\mathbb{Z}(q)$ 为系数为整数的有理函数域。我们研究 $B_4$ 在 $\mathbb{P}^2(\mathbb{Z}(q))$ 上的轨道，并展示存在对应于 Morier-Genoud 和 Ovsienko 所致 $q$-rationals 概念的 $\mathbb{P}^1(\mathbb{Z}(q))$ 的嵌入。