量子与编织空间上的代数{$q$}-积分与傅里叶理论

我们引入了量子平面及其他编织空间上的代数积分理论。在一维情形下，我们得到了Jackson $q$-积分的全新图景，即将其视为单变量$x$函数编织群上的不定积分。这里$x$采用编织统计$q$处理，而非通常的玻色或格拉斯曼统计。我们证明了定积分$\int x$也可以代数地求值为$q$-高斯积分的倍数，其中$x$作为与$q$-形变相关的玻色标度变量保留。进一步将我们的代数积分与表示复合，即可得到积分的普通数值。我们还利用我们的积分发展了$q$-傅里叶变换$F$的完整理论。我们使用编织加法$\Delta x=x\otimes 1+1\otimes x$和编织反极$S$来定义卷积积，并证明了卷积定理。我们还证明了$F^2=S$。我们在任意编织群上证明了类似结果，包括与一般$R$-矩阵相关的量子平面上的积分与傅里叶变换，涵盖$q$-欧几里得和$q$-闵可夫斯基空间。