Brown 的二面体模空间与重力 operad 的余自由性

Francis Brown 引入了模空间 $M_{0,n}$ 的一个部分紧化 $M_{0,n}^\delta$。我们证明由空间 $M_{0,n}$ 的次数平移上同调给出的重力 cooperad 作为一个非对称反循环 cooperad 是余自由的；此外，余生成元由 $M_{0,n}^\delta$ 的上同调群给出。这特别地说明 $H^\bullet(M_{0,n}^\delta)$ 单射到 $H^\bullet(M_{0,n})$ 中。作为证明的一部分，我们构造了 $H^\bullet(M_{0,n})$ 的一个显式图定义的基，该基与 cooperad 的余余合成相容，并且其一个子集构成 $H^\bullet(M_{0,n}^\delta)$ 的基。我们证明我们的结果等价于如下断言：对所有 $k$，$H^k(M_{0,n}^\delta)$ 具有权为 $2k$ 的纯 Hodge 结构，并在文末给出该事实的一个独立的且完全不同的证明。后一证明使用了从 $\mathbb{A}^{n-3}$ 通过 blow-ups 和移除除子对 $M_{0,n}^\delta$ 的一个新的显式迭代构造，类似于 Kapranov 和 Keel 分别从 $\mathbb{P}^{n-3}$ 和 $(\mathbb{P}^1)^{n-3}$ 构造 $\overline M_{0,n}$。