Bregman Voronoi 图：性质、算法与应用

有限对象集的 Voronoi 图是一种基本的几何结构，它将嵌入空间细分为多个区域，每个区域由距离给定对象比距离其他对象更近的点组成。根据对象类别、距离函数和嵌入空间的不同，我们可以定义多种 Voronoi 图变体。在本文中，我们研究了一个用于定义和构建针对一类称为 Bregman 散度的广泛距离函数的 Voronoi 图的框架。Bregman 散度不仅包括传统的（平方）欧几里得距离，还包括基于熵函数的各种散度度量。因此，Bregman Voronoi 图允许在基于分布相对熵的统计参数空间中定义信息论 Voronoi 图。我们定义了几种类型的 Bregman 图，建立了这些图之间的对应关系（使用 Legendre 变换），并展示了如何高效地计算它们。我们还介绍了这些图的扩展，例如 k 阶和 k 袋 Bregman Voronoi 图，并引入了一组点的 Bregman 三角剖分及其与 Bregman Voronoi 图的联系。我们表明，这些三角剖分捕捉到了著名的 Delaunay 三角剖分的许多性质。最后，我们给出了一些在计算几何和机器学习背景下感兴趣的 Bregman Voronoi 图的应用。