打破求积精确性：球面上 Allen–Cahn 方程的谱方法

我们提出一种用于球面上 Allen-Cahn 方程的新型谱方法，消除了对常规求积精确性条件的依赖。通过以由 Marcinkiewicz–Zygmund 求积系统导出的受限等距关系替代这些条件，我们的方法对多项式被积函数的求积误差实现了精确控制。这一理论进展使得可选用远多于经典谱方法的求积点，同时保持严格的误差界。所提方法仅需对数值解的多项式次数施加温和约束，即可确立最大值原理与能量稳定性，这相对于依赖限制性时间步长、非线性项的 Lipschitz 性质或数值解的 $L^{\infty}$ 有界性的现有技术是一个显著背离。值得注意的是，我们的方法允许与时间步长大小独立于扩散系数，从而适用于长时间模拟。受 Li (Ann. Appl. Math., 37(2): 131--290, 2021) 提出的有效最大值原理启发，我们发展了几乎尖锐的最大值原理，允许数值解在大时间步长下对尖锐界有可控偏离。此外，我们证明当求积法则具备充分精确性时，我们的方法保持能量稳定性且在数学上等同于 Galerkin 方法。另外，我们提出一种能量稳定的混合求积格式，即便对随机采样的初始条件数据也表现良好。我们在 $\mathbb{S}^2$ 上的数值实验验证了关于能量稳定性与几乎尖锐最大值原理的理论结果。