深水 Stokes 波的支割线。第一部分：数值解与 Padé 逼近

本文分析了具有自由表面和无限深度的理想不可压缩流体二维势流中 Stokes 波的复解析结构。Stokes 波是以恒定速度传播的完全非线性周期重力波。通过四精度和可变精度模拟，以高精度求得 Stokes 波，并研究其趋近于波峰处具有 $2\pi/3$ 弧度夹角的极限形式的过程。使用了一个共形映射，将 Stokes 波的自由流体表面映射到实直线，流体域映射到下半复平面。Stokes 波完全由上半复平面中的复奇点所刻画。这些奇点通过 Stokes 波在复平面上的有理（Padé）插值来处理。随着数值精度的提高及随之而来的逼近极点数量的增加，Padé 逼近向复极点密度的收敛揭示出，Stokes 波的唯一奇点是由支割线连接的支点。收敛的密度即为跨越支割线的跳跃量。Stokes 波的每个水平空间周期 $\lambda$ 内有一条支割线。每条支割线严格垂直延伸至对应波峰上方，直至复无穷远处。支割线的下端是平方根支点，在共形变量中位于距对应于流体表面的实线 $v_c$ 处。当奇点到达流体表面时，极限 Stokes 波出现。提供了不同波高 Stokes 波的 Padé 逼近表。这些表格允许以至少 $10^{-26}$ 的相对精度恢复 Stokes 波。对于高度非线性 Stokes 波（$v_c/\lambda\sim 10^{-6}$），表格使用的极点数量从几个到约一百个不等。