关于超导性 Eliashberg 理论中 $T_c$ 的下界：III：Einstein 声子

本文研究了标准超导性 Eliashberg 理论的无色散极限。通过搭载频率为 $\Omega>0$ 的 Einstein 声子，并具有电子-声子耦合强度 $\lambda$，实现了对论文 (II) 中关于非平凡色散关系声子的 $T_c$ 一般结果的详细评估。论文 (II) 中作者获得的关于正规态区域对抗向超导态区域扰动的线性稳定边界 $\mathscr{S}_{\!c}$ 的变分原理简化如下：若 $(\lambda,\Omega,T)\in\mathscr{S}_{\!c}$，则 $\lambda = 1/\mathfrak{h}(\varpi)$，其中 $\varpi:=\Omega/2\pi T$，且 $\mathfrak{h}(\varpi)>0$ 为作用于 $\ell^2$ 序列上的紧自伴算子 $\mathfrak{H}(\varpi)$ 的最大特征值；$\mathfrak{H}(\varpi)$ 为算子 $\mathfrak{K}(P,T)$ (II) 中 $P(d\omega)\to\delta(\omega-\Omega)d\omega$ 的无色散极限。证明当 $\varpi \leq \sqrt{2}$ 时，映射 $\varpi\mapsto\mathfrak{h}(\varpi)$ 可逆。对于 $\lambda>0.77$，可得：(i) 临界温度 $T_c(\lambda,\Omega)=\Omega f(\lambda)$ 的存在；(ii) 一系列关于 $f(\lambda)$ 的下界序列收敛于 $f(\lambda)$。此外还得到 $T_c(\lambda,\Omega)$ 的上界，该上界在 $\lambda\sim\infty$ 时与渐近行为 $T_c(\lambda,\Omega)\sim C \Omega\sqrt{\lambda}$ 一致，具体为 $C\approx 2.034 C_\infty$，其中 $C_\infty:=\frac{1}{2\pi}\mathfrak{k}(2)^\frac12 =0.1827262477...$ 为最优常数，$\mathfrak{k}(\gamma)>0$ 为论文 (I) 中关于 $T_c$ 的作者确定的 $\gamma$ 模型的最大特征值。