限制阈值维数：将图布尔函数实现为多数门之合取

顶点集为 $n$ 的图 $G$ 称为\emph{阈值图}，若存在实数 $a_1,a_2, \ldots, a_n$ 与 $b$，使得线性不等式 $\sum \limits_{i=1}^n a_i x_i \leq b$ 的零一解恰为 $G$ 的团的特征向量。由 [Chv{\'a}tal 与 Hammer, Annals of Discrete Mathematics, 1977] 引入的图 $G$ 的\emph{阈值维数}（记为 $\dimth(G)$）是指其交给出 $G$ 的阈值图的最少个数。给定 $n$ 个顶点的图 $G$，依 Chv{\'a}tal 与 Hammer，布尔函数 $f_G\colon \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ 满足 $f_G(x) = 1$ 当且仅当 $x$ 是 $G$ 中某个团的特征向量。若存在图 $G$ 使 $f=f_G$，则称布尔函数 $f$ 为\emph{图}布尔函数。由此可知，对图 $G$，$\dimth(G)$ 恰为以其合取（AND）实现图布尔函数 $f_G$ 的\emph{多数}门的最少个数。存在只能以指数多个多数门的合取实现的布尔函数这一事实，促使我们研究图的阈值维数。我们给出了图的阈值维数关于其树宽、最大度、退化数、顶点数、最小顶点覆盖大小等的上界（紧或近紧）。我们还研究了随机图与高围长图的阈值维数。