图的函数性

设$G=(V,E)$为一图，$A$为其邻接矩阵。若对某个布尔函数$f$（含$k$个变量），任意顶点$z \in V - \{y, x_1, \ldots, x_k\}$均有$A(y,z)=f(A(x_1,z),\ldots,A(x_k,z))$，则称顶点$y \in V$是顶点$x_1, \ldots, x_k \in V$的函数。顶点$y$的函数性$fun(y)$是使$y$为$k$个顶点的函数的最小$k$。图$G$的函数性$fun(G)$定义为$\max\limits_H\min\limits_{y\in V(H)}fun(y)$，其中最大值取遍$G$的所有诱导子图$H$。本文中，我们证明函数性同时推广了退化数或团宽等其他若干图参数，即证明有界退化数或有界团宽蕴含有界函数性。此外，我们通过揭示退化数与团宽无界但函数性有常数界的一类图，表明该推广是严格的。这包括置换图、单位区间图与线图。我们还观察到有界函数性蕴含有界VC维，即有界VC维的图扩展了有界函数性的图，且该扩展也是严格的。