超图迹函数的一个简单上界及其应用

设 ${H}=(V, {E})$ 为顶点集 $V$ 与边集 ${E}\subseteq 2^V$ 上的超图。我们证明在 $V$ 的任意 $k$ 子集上的不同迹（trace）的数目至多为 $k.{\hat \alpha}(H)$，其中 ${\hat \alpha}(H)$ 为 $H$ 的退化度（degeneracy）。该结果显著改进/推广了若干相关结果。例如，证明了 $H$ 的 VC 维（即 $vc(H)$）至多为 $\log({\hat \alpha}(H))+1$，这是此前未知的。由此可在 $n^{O( {\rm log}({\hat \delta}(H)))}$ 时间内计算出 $vc(H)$。当应用于排除固定次图的图的邻域系统时，将关于次图大小的已知 VC 维线性上界降为对数上界。当应用于任意 $n$ 顶点图 $G$ 的选址控制数与识别码数时，得到新的下界 $\Omega(n/({\hat \alpha}(G)))$，其中 ${\hat \alpha}(G)$ 为 $G$ 的退化度。