Bethe 永久积与$M$次 Bethe 永久积的界

最近有人猜想，矩阵$\theta$的$M$次${P}$-提升$\theta^{\uparrow{P}}$的永久积小于或等于$\theta$的永久积 perm$(\theta)$的$M$次幂，即 perm$(\theta^{\uparrow{P}})\leq(\text{perm}(\theta))^M$；进而猜想矩阵$\theta$的$M$次 Bethe 永久积$\text{perm}_{M,\mathrm{B}} (\theta)$小于或等于$\theta$的永久积 perm$(\theta)$，即 perm$_{M, \mathrm{B}} (\theta)\leq \text{perm}(\theta)$。在本文中，我们证明了这些相关猜想，并展示了作为矩阵提升的分块矩阵的永久积的一些额外性质。作为推论，我们获得了关于基矩阵$\theta$的 Bethe 永久积不等式 perm$_{\mathrm{B}} (\theta)\leq \text{perm}(\theta)$的另一种证明，该证明仅使用了 Bethe 永久积的组合定义。