极小基的鲁棒性与扰动 II:给定行次数的情形

本文研究了行次数由给定自然数列表 $d_1, \ldots, d_m$ 所界住的 $m\times (m+n)$ 多项式矩阵线性空间内的泛型与扰动性质;在特例 $d_1 = \cdots = d_m = d$ 下,这恰好是次数至多为 $d$ 的 $m\times (m+n)$ 多项式矩阵集合。因此,本文结果将最近在[Van Dooren & Dopico, Linear Algebra Appl. (2017), http://dx.doi.org/10.1016/j.laa.2017.05.011]中仅对次数至多为 $d$ 的多项式矩阵所得的结果推广到了更为一般的情形。令人惊讶的是,只要将多项式矩阵著名的Sylvester矩阵替换为本文引入的新 trimmed Sylvester 矩阵,该文献中证明的大部分性质及其证明在此行次数由可任意非均匀列表界住的一般情形下大体保持不变。本文给出了诸多结果,其中包括:(1) 所考虑集合中的多项式矩阵泛型地为极小基,其行次数恰等于 $d_1, \ldots , d_m$,且右极小指数至多相差一,其和为 $\sum_{i=1}^{m} d_i$;(2) 在扰动下,这些泛型极小基是鲁棒的,且其对偶极小基可选择为光滑变化。