非负矩阵积和式的置信传播与环路微积分

我们考虑计算正的 $(N\times N)$ 非负矩阵 $P=(P_i^j|i,j=1,\cdots,N)$ 的积和式，或者等价地，完全二分图 $K_{N,N}$ 上完美匹配的加权计数问题。已知该问题可能具有指数级复杂度。该问题被表述为图模型的配分函数 $Z$，它允许在边缘信念的非整数双随机矩阵 $\beta=(\beta_i^j|i,j=1,\cdots,N)$ 上，通过 Bethe 自由能泛函的内部极小值进行精确的环路微积分表示 [Chertkov, Chernyak '06]，这也对应于置信传播 (BP) 类型迭代消息传递算法的不动点。我们的主要结果是给出了精确配分函数（积和式）关于 BP 边缘矩阵 $\beta$ 的显式表达式：$Z=\mbox{Perm}(P)=Z_{BP} \mbox{Perm}(\beta_i^j(1-\beta_i^j))/\prod_{i,j}(1-\beta_i^j)$，其中 $Z_{BP}$ 是用 $\beta$ 显式表示的积和式的 BP 表达式。我们给出了该公式的两种推导：一种是基于 Bethe 自由能的直接推导，另一种是结合 Ihara 图 $\zeta$ 函数与环路微积分方法的替代推导。在假设已计算出置信传播边缘矩阵 $\beta$ 的前提下，我们提供了两个下界和一个上界来估计该乘性项。两个互补的下界分别基于 Gurvits-van der Waerden 定理以及修正积和式与行列式之间的关系。