有界平均振荡与主动标量方程的唯一性

我们考虑了几大类主动标量方程的若干唯一性问题，统一并推广了几位作者的技术。作为我们结果的特例，我们为 $L^1 \cap BMO$ 中二维 Euler 方程的已知唯一性结果提供了一个显著简化的证明，并对 Rusin 最近关于二维无粘表面准地转 (SQG) 方程的结果给出了适度改进，据我们所知，这目前是该模型已知的最佳结果。我们还获得了（据我们所知）Patlak-Keller-Segel 模型已知最强的唯一性结果。我们通过能量方法的技术改进获得了这些结果，这些方法在 $L^2$ 框架中众所周知，但在 $\dot{H}^{-1}$ 框架中较少为人所知。$\dot{H}^{-1}$ 方法可被视为 Yudovich 经典方法的推广，并自然应用于诸如具有非线性扩散的 Patlak-Keller-Segel 模型及其他变体的方程。我们分析的重点是一个 $L^p$-$BMO$ 插值引理和一个 Sobolev 嵌入引理，后者表明满足 $\grad v \in BMO$ 的速度场 $v$ 是局部对数 Lipschitz 连续的；后者在调和分析中已知，但似乎未曾与该框架联系起来。