方程 $r^2 {d^2 f/dr^2} + f = f^3$ 的边值问题 (I): 存在性与唯一性

本文研究方程 $r^2 {d^2 f/dr^2} + f = f^3$，边界条件为 $f(1)=0$、$f(\infty)=1$ 且对 $1<r<\infty$ 有 $f(r) > 0$。利用拓扑打靶法证明解的存在性，并利用变分法证明唯一性。利用 $f(r)$ 当 $r \to 1$ 时的渐近性质，我们将在后续论文中讨论 $0<r<\infty$ 的整体解，给出 $f(r)$ 当 $r \to 0$ 与 $r \to \infty$ 时的显式渐近式，以及渐近式中参数的连接公式。基于这些结果，我们将求解边值问题 $f(0) =0$、$f(\infty) =1$，这是本文工作的目标。一旦人们讨论该方程的正则解，就必须考虑此边值问题。该问题对研究与 Yang-Mills 势相关的方程很有用，且用于该方程的方法可适用于其他类似方程。