具有焦点-焦点型临界流形的可积系统的 Bohr-Sommerfeld 条件

我们在半经典极限 $h \to 0$ 下详细研究了两个交换 h-PDO $P_1(h)$、$P_2(h)$ 系统的微局部性质，其联合主象征 $p=(p_1,p_2)$ 具有一种称为“焦点-焦点”奇点的特殊奇性。典型例子包括量子球面摆或量子香槟瓶。秉承 Colin de Verdière 与 Parisse 的精神，我们证明此类系统具有由 Bohr-Sommerfeld 型奇异量子化条件描述的普适行为。这些条件用于精确刻画此类系统的联合谱，包括量子单值性现象以及靠近奇点的联合本征值计数函数的不同表述，其中出现了半经典常数 $h$ 的对数。借助 M.S. Child 对香槟瓶情形所做的数值计算，我们得以准确地说明我们的结论。