$\mathbb{P}^{n-3}$ 在 $n$ 个点处的爆破与旋量簇

Dolgachev 以及 Castravet-Tevelev 的工作建立了 $\mathfrak{so}_{2n}$ 的半旋表示的 $2^{n-1}$ 个权重与簇 $X_n$（通过将 $\mathbb{P}^{n-3}$ 在 $n$ 个点处爆破得到）的 Cox 环的生成元之间的双射。我们通过将 ${\rm Cox}(X_n)$ 嵌入到偶旋量簇（偶半旋表示的齐次空间）中，为这一双射提供了几何解释。通过相交偶旋量簇的环面平移，几何地恢复了爆破 $X_n$ 的 Cox 环。这些是 Derenthal 以及 Serganova-Skorobogatov 关于 del Pezzo 曲面的结果的高维推广。