爆破惠特尼形式、影子形式与泊松过程

单纯形$T$上的惠特尼形式存在高阶推广，这些推广在数值分析中受到了广泛关注。而Brasselet、Goresky和MacPherson的影子形式则鲜为人知。这些形式推广了惠特尼形式，但具有有理系数，允许在$T$的面附近出现奇异性。受表现出此类奇异性的数值问题的启发，我们为影子$k$-形式引入了非常适合有限元实现的自由度。特别地，我们证明了影子形式的自由度由在单纯形$T$的爆破$\tilde T$的$k$维面上的积分给出。因此，我们得到了影子形式复形的上同调与$\tilde T$的胞腔上同调之间的同构，后者除零次外均为零。此外，我们发现了影子形式在泊松过程方面令人惊讶的概率解释。这一视角简化了若干证明，并提供了一种使用直接组合计算来计算影子形式基的方法。