蛛网图上的生灭链：谱分析与反射-吸收分解

我们考虑平面蛛网图（即由 $N$ 条离散半直线在原点处连接而成的图）上的离散时间生灭链。该过程可识别为状态空间 $\mathbb{N}_0 \times \{1, 2, \dots, N\}$ 上的离散时间拟生灭过程，由块三对角转移概率矩阵表示。我们证明可利用谱方法分析该过程，并借助权矩阵及相应的矩阵值正交多项式（即所谓的 Karlin-McGregor 公式）得到 $n$ 步转移概率。我们还研究了在何种条件下可获得蛛网图上生灭链的反射-吸收分解，该分解可视为拟生灭过程转移概率矩阵的随机 UL 块分解。利用此分解可进行离散 Darboux 变换并得到新的“几乎”蛛网生灭链族。与 Darboux 变换相关的谱矩阵将是原谱矩阵的 Geronimus 变换。最后，我们将结果应用于常转移概率的蛛网随机游走。