整数上生灭链的吸-反因式分解及其Darboux变换

我们考虑一种通过吸收与生灭链至状态0以及相反的反射生灭链，对整数上离散时间生灭链的转移概率矩阵进行因式分解的新方法。首先我们将考虑整数上生灭链的反射-吸收因式分解。我们给出关于两个自由参数的条件，使得每个因子均为随机矩阵。通过反转因子顺序（亦称Darboux变换），我们得到整数上“几乎”生灭链的新族，唯一区别在于状态$1$到状态$-1$及反向具有新的概率。另一方面，整数上生灭链的吸收-反射因式分解仅当两个因子在状态$0$处拆分为两个分离的生灭链时才可能。因此，考虑具有状态$1$与$-1$间额外转移及某些条件的“几乎”生灭链的吸收-反射因式分解更有意义。该因式分解现在是唯一的，且通过反转因子顺序我们得到整数上的生灭链。在两种情形下，我们辨识出与Darboux变换相关的谱矩阵，前者为原谱矩阵的Geronimus变换，后者为Christoffel变换。我们将结果应用于具有常数转移概率的链的例子。