有限阿贝尔群上的双线性型与群不变 Butson Hadamard 矩阵

设 $K$ 为有限阿贝尔群，令 $\exp(K)$ 表示 $K$ 中元素阶的最小公倍数。一个 $BH(K,h)$ 矩阵是一个 $K$ 不变的 $|K|\times |K|$ 矩阵 $H$，其元素为 $h$ 次单位根复根，满足 $HH^*=|K|I$，其中 $H^*$ 表示 $H$ 的复共轭转置，$I$ 为 $|K|$ 阶单位矩阵。令 $\nu_p(x)$ 表示整数 $x$ 的 $p$ 进赋值。利用 $K$ 上的双线性型，我们证明当 (i) 对每个 $|K|$ 的素因子 $p$ 有 $\nu_p(h) \geq \lceil \nu_p(\exp(K))/2 \rceil$，且 (ii) 若 $\nu_2(|K|)$ 为奇数且 $K$ 有直因子 $\mathbb{Z}_2$ 则 $\nu_2(h) \ge 2$ 时，存在 $BH(K,h)$。采用域下降法，我们证明了在 $K$ 为素数幂阶循环群的情形下，这些条件是 $BH(K,h)$ 矩阵存在的必要条件。