双线性形式分解为有界形式之和

满足特定条件的双线性形式的分解问题已被许多作者研究，例如在 \cite{H08} 中：设 $H$ 和 $K$ 为希尔伯特空间，并设 $A,C \in B(H), B,D\in B(K)$。假设 $u:H\times K\rightarrow \mathbb{C}$ 是一个双线性形式，对所有 $x\in H$ 和 $y\in K$ 满足 $$|u(x,y)|\leq\|Ax\|\ \|By\|+\|Cx\|\|Dy\|$$。则 $u$ 可分解为两个双线性形式之和 $$u=u_1+u_2$$，其中 $$|u_1(x,y)|\leq \|Ax\|\ \|By\|, |u_2(x,y)|\leq \|Cx\|\|Dy\|, \forall x\in H,y\in K.$$ U. Haagerup 猜想，对于多于两项的情形，类似地分解为有界双线性形式之和并不总是可能的。本文的目的是研究这一问题。在有限维情形下，我们给出了这种分解的一个充要判据。最后，我们利用该判据给出一个半双线性形式 $u$ 的例子，即使是在二维希尔伯特空间上，它被三个有界形式 $b_1,b_2$ 和 $b_3$ 的模之和所控制，但不能分解为三个半双线性形式 $u_i$ 之和，其中每个 $u_i$ 被相应的 $|b_i|$ 所控制。