已知符号下的双线性压缩感知：基于凸规划的方法

我们考虑从两个向量 $\boldsymbol{x} \in\mathbb{R}^L$ 和 $\boldsymbol{w} \in\mathbb{R}^L$ 的逐元素乘积中恢复它们的双线性逆问题。我们考虑的情况是 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{w}$ 具有已知符号，并且相对于已知的大小分别为 $K$ 和 $N$ 的字典是稀疏的。这里，$K$ 和 $N$ 可以大于、小于或等于 $L$。我们引入了 $\ell_1$-BranchHull，这是一个在自然参数空间中提出的凸规划，不需要近似解或初始化即可陈述或求解。在 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{w}$ 满足可比有效稀疏度条件，并且相对于随机字典是 $S_1$-稀疏和 $S_2$-稀疏的假设下，我们给出了有噪声情况下的恢复保证。我们证明，如果测量次数满足 $L\geq\Omega\left((S_1+S_2)\log^{2}(K+N)\right)$，则 $\ell_1$-BranchHull 以高概率对小稠密噪声具有鲁棒性。数值实验表明，定理中的缩放常数并不太大。我们还引入了 $\ell_1$-BranchHull 的变体，用于容忍噪声和异常值，以及用于恢复分段常数信号。我们提供了这些变体的 ADMM 实现，并展示了它们可以从真实图像中提取分段常数行为。