利用多样性与稀疏性进行盲解卷积

本文考虑从它们的循环卷积 $\boldsymbol{y}_n = \boldsymbol{w}*\boldsymbol{x}_n, \ n = 1,2,3, \ldots, N$ 中恢复 $L$ 维向量 $\boldsymbol{w}$ 和 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N$。假设向量 $\boldsymbol{w}$ 在一个已知的、在傅里叶域中展宽的基下是 $S$-稀疏的，并且每个输入 $\boldsymbol{x}_n$ 是一个已知的 $K$-维随机子空间的成员。我们证明，只要 $K + S\log^2S \lesssim L /\log^4(LN)$，并且输入足够多样且满足 $N \gtrsim \log^2(LN)$，该问题就可以仅通过使用核范数最小化作为凸松弛来有效解决。所谓“多样输入”，是指 $\boldsymbol{x}_n$ 属于不同的、一般的子空间。据我们所知，这是盲解卷积的第一个理论结果，其中 $\boldsymbol{w}$ 所属的子空间不是固定的，而是需要确定的。我们在无线通信中多径信道估计的背景下讨论了该结果。信道冲激响应 $\boldsymbol{w}$ 中的衰落系数和延迟都是未知的。编码器对 $K$-维消息向量进行随机编码，然后在一个固定信道上逐个传输编码后的消息 $\boldsymbol{x}_n$。当对每个接收消息所取的样本数大致大于 $(K+S\log^2S)\log^4(LN)$，且消息数大致至少为 $\log^2(LN)$ 时，解码器便能发现所有消息和信道响应。