用于稀疏向量双线性反演的凸规划

我们考虑从两个向量 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^L$ 和 $\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^L$ 的逐元素乘积中恢复它们的双线性反问题。我们考虑 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{w}$ 具有已知符号、且分别相对于大小为 $K$ 和 $N$ 的已知字典稀疏的情形。此处 $K$ 和 $N$ 可大于、小于或等于 $L$。我们引入 $\ell_1$-BranchHull,这是一个在自然参数空间中提出的凸规划,无需近似解或初始化即可表述或求解。我们研究 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{w}$ 相对于随机字典分别为 $S_1$- 和 $S_2$-稀疏的情形,并给出仅依赖于测量数 $L\geq\Omega(S_1+S_2)\log^{2}(K+N)$ 的恢复保证。数值实验验证了定理中的缩放常数不太大。该问题的一个应用是介电成像中的扫描失真去除任务,其中一信号为非负反射率,另一信号位于已知子空间中,例如由主导小波系数给出的子空间。我们还引入 $\ell_1$-BranchHull 的变体,以容忍噪声与离群值,以及恢复分段常数信号。我们提供了这些变体的 ADMM 实现,并展示它们可从真实图像中提取分段常数行为。