双边标准级联：通向维纳极限与变体分数布朗极限的乘性精细化路径

初始密度在 $t\in (0,1)$ 上为 1，$b$ 为整基数（$b\geq 2$），$p\in (0,1)$ 为参数。第一阶段构造将单位区间分为 $b$ 个子区间，并将每个子区间中的密度分别乘以 1 或 -1，对应频率分别为 $\frac{1}{2}+\frac{p}{2}$ 与 ${1/2}-\frac{p}{2}$。研究表明，所得密度可重新归一化，使得当 $n\to \infty$（$n$ 为迭代次数）时，带符号测度在某种意义下收敛于非退化极限。若 $H=1+\log_{b} p>{1}/{2}$，即 $p>b^{{-1}/2}$，则重新归一化生成一个鞅，收敛是强意义下的，且该极限具有指数为 $H$ 的分数布朗运动的 Hölder 与 Hausdorff 性质。若 $H\leq {1}/{2}$，即 $p\leq b^{{-1}/{2}}$，该鞅不收敛。然而，可对 $H\leq {1/2}$ 时的鞅本身以及 $H>{1/2}$ 时的极限与有限逼近之间的偏差施加另一种归一化。在所有情形中，所得过程被发现弱收敛于维纳布朗运动，且与 $H$ 和 $b$ 无关。因此，相对于通常通向维纳测度的加性路径，此过程添加了无穷多条乘性路径。